迷人的算法-排列组合

需求最近工作中碰到一个需求:我们的数据表有多个维度,任意多个维度组合后进行groupby可能会产生一些”奇妙”的反应,由于不确定怎么组合,就需要将所有的组合都列出来进行尝试。抽象一下就是从一个集合中取出任意元素,形成唯一的组合。如[a,b,c]可组合为[a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]。要求如下:组合内的元素数大于0小于等于数组大小;组合内不能有重复元素,如[aab]...

需求


最近工作中碰到一个需求:我们的数据表有多个维度,任意多个维度组合后进行 group by 可能会产生一些”奇妙”的反应,由于不确定怎么组合,就需要将所有的组合都列出来进行尝试。

抽象一下就是从一个集合中取出任意元素,形成唯一的组合。如[a,b,c]可组合为[a]、[b]、[c]、[ab]、[bc]、[ac]、[abc]

要求如下:

  • 组合内的元素数大于 0 小于等于 数组大小;
  • 组合内不能有重复元素,如 [aab] 是不符合要求的组合;
  • 组合内元素的位置随意,即 [ab] 和 [ba] 视为同一种组合;

看到这里,就应该想到高中所学习的排列组合了,同样是从集合中取出元素形成一个另一个集合,如果集合内元素位置随意,就是组合,从 b 个元素中取 a 个元素的组合有种。而如果要求元素顺序不同也视为不同集合的话,就是排列,从 m 个元素取 n 个元素的排列有种。

我遇到的这个需求就是典型的组合,用公式来表示就是从元素个数为 n 的集合中列出种组合。

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文中算法用 Java 实现。

从排列到组合-穷举


对于这种需求,首先想到的当然是穷举。由于排列的要求较少,实现更简单一些,如果我先找出所有排列,再剔除由于位置不同而重复的元素,即可实现需求。假设需要从 [A B C D E] 五个元素中取出所有组合,那么我们先找出所有元素的全排列,然后再将类似 [A B] 和 [B A] 两种集合去重即可。

我们又知道,那么我们先考虑一种情况,假设是,从 5 个元素中选出三个进行全排列。

被选取的三个元素,每一个都可以是 ABCDE 之一,然后再排除掉形成的集合中有重复元素的,就是 5 选 3 的全排列了。

代码是这样:

 private static Set<Set<String>> exhaustion() {  List<String> m = Arrays.asList("a", "b", "c", "d", "e");  Set<Set<String>> result = new HashSet<>();  int count = 3;  for (int a = 1; a < m.size(); a  ) {for (int b = 0; b < m.size(); b  ) { for (int c = 0; c < m.size(); c  ) {  Set<String> tempCollection = new HashSet<>();  tempCollection.add(m.get(a));  tempCollection.add(m.get(b));  tempCollection.add(m.get(c));  // 如果三个元素中有重复的会被 Set 排重,导致 Set 的大小不为 3  if (tempCollection.size() == count) {result.add(tempCollection);  } }}  }  return result; }

对于结果组合的排重,我借用了 Java 中 HashSet 的两个特性:

  • 元素唯一性,选取三个元素放到 Set 内,重复的会被过滤掉,那么就可以通过集合的大小来判断是否有重复元素了,
  • 元素无序性,Set[A B] 和 Set[B A] 都会被表示成 Set[A B]。
  • 另外又由于元素唯一性,被同时表示为 Set[A B] 的多个集合只会保留一个,这样就可以帮助将全排列转为组合。

可以注意得到,上面程序中 count 参数是写死的,如果需要取出 4 个元素的话就需要四层循环嵌套了,如果取的元素个取是可变的话,普通的编码方式就不适合了。

注: 可变层数的循环可以用递归来实现。

从排列到组合-分治


穷举毕竟太过暴力,我们来通过分治思想来重新考虑一下这个问题:

分治思想

分治的思想总的来说就是”大事化小,小事化了”,它将复杂的问题往简单划分,直到划分为可直接解决的问题,再从这个直接可以解决的问题向上聚合,最后解决问题。

从 M 个元素中取出 N 个元素整个问题很复杂,用分治思想就可以理解为:

  • 首先,如果我们已经从 M 中元素取出了一个元素,那么集合中还剩下 M-1 个,需要取的元素就剩下 N-1 个。
  • 还不好解决的话,我们假设又从 M-1 中取出了一个元素,集合中还剩下 M-2 个,需要取的元素只剩下 N-2 个。
  • 直到我们可能取了有 M-N 1 次,需要取的元素只剩下一个了,再从剩余集合中取,就是一个简单问题了,很简单,取法有 M-N 1 种。
  • 如果我们解决了这个问题,已经取完最后一次了产生了 M-N 1 种临时集合,再考虑从 M-N 2 个元素中取一个元素呢,又有 M-N 2 种可能。
  • 将这些可能聚合到一块,直到取到了 N 个元素,这个问题也就解决了。

还是从 5 个元素中取 3 个元素的示例:

  • 从 5 个元素中取 3 个元素是一个复杂问题,为了简化它,我们认为已经取出了一个元素,还要再从剩余的 4 个元素中取出 2 个,求解公式为:。
  • 从 4 个元素中取出 2 个依旧不易解决,那我们再假设又取出了一个元素,接下来的问题是如何从 3 个元素中取一个,公式为。
  • 从 3 个元素中取 1 个已经是个简单问题了,有三种可能,再向上追溯,与四取一、五取一的可能性做乘,从而解决这个问题。

代码实现

用代码实现如下:

public class Combination { public static void main(String[] args) {  List<String> m = Arrays.asList("a", "b", "c", "d", "e");  int n = 5;  Set<Set<String>> combinatio
源文地址:http://www.guoxiongfei.cn/cntech/14862.html