仿射变换及其变换矩阵的理解

目录写在前面仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射变换矩阵形式变换矩阵的理解与记忆变换矩阵的参数估计参考博客:blog.shinelee.me|博客园|CSDN写在前面2D图像常见的坐标变换如下图所示:这篇文章不包含透视变换(projective/perspectivetransformation),而将重点放在仿射变换(affinetransformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,...

仿射变换及其变换矩阵的理解

目录

  • 写在前面
  • 仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射
  • 变换矩阵形式
  • 变换矩阵的理解与记忆
  • 变换矩阵的参数估计
  • 参考

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写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示:
Basic set of 2D planar transformations
这篇文章不包含透视变换(projective/perspective transformation),而将重点放在仿射变换(affine transformation),将介绍仿射变换所包含的各种变换,以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换:平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换,以及这些变换任意次序次数的组合
affine transformations

平移(translation)和旋转(rotation)顾名思义,两者的组合称之为欧式变换(Euclidean transformation)或刚体变换(rigid transformation);

放缩(scaling)可进一步分为uniform scalingnon-uniform scaling,前者每个坐标轴放缩系数相同(各向同性),后者不同;如果放缩系数为负,则会叠加上反射(reflection)——reflection可以看成是特殊的scaling;

刚体变换 uniform scaling 称之为,相似变换(similarity transformation),即平移 旋转 各向同性的放缩;

剪切变换(shear mapping)将所有点沿某一指定方向成比例地平移,语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示:
transformations venn diagram
通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述:

\[ \left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{ll}{a} & {b} \\ {c} & {d}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] \]

不同变换对应的\(a, b, c, d\)约束不同,排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换(linear transformation),其涵盖的变换如上面的venn图所示,其特点是原点位置不变多次线性变换的结果仍是线性变换

为了涵盖平移,引入齐次坐标,在原有2维坐标的基础上,增广1个维度,如下所示:

\[ \left[ \begin{array}{l}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] =\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right] \]

所以,仿射变换的变换矩阵统一用 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f}\end{array}\right]\)来描述,不同基础变换的\(a,b,c,d,e,f\)约束不同,如下所示:

VuEg5n.png
此外,旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵,如下,有3个自由度(\(\theta, t_x, t_y\)),这里旋转方向为逆时针方向,因此与上图中的正负号不同,
\[ \left[ \begin{array}{ccc}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

再乘上uniform scaling得到相似变换,有4个自由度(\(s, \theta, t_x, t_y\)),如下:

\[ \left[ \begin{array}{ccc}{s\cos (\theta)} & {-s\sin (\theta)} & {t_{x}} \\ {s\sin (\theta)} & {s\cos (\theta)} & {t_{y}}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {1}\end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right] \]

自然,仿射变换的变换矩阵有6个自由度(\(a,b,c,d,e,f\))。

变换矩阵的理解与记忆

rotate matrix
坐标系坐标原点基向量决定,坐标原点基向量确定了,坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置\((x, y)\),其相对坐标原点在\([1, 0]\)方向上的投影为\(x\),在\([0, 1]\)方向上的投影为\(y\)——这里投影的意思是过\((x, y)\)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离,即\((x, y)\)实际为:

\[\left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{1} \\ {0}\end{array}\right]y\left[ \begin{array}{l}{0} \\ {1}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

当坐标系变化,坐标系中的点也跟着变化,但点相对新坐标系\(x'-y'\)坐标系)的位置不变仍为\((x, y)\),以旋转变换为例,新坐标轴的基向量则变为\([\cos (\theta), \sin (\theta)]\)\([-\sin (\theta), \cos (\theta)]\),所以点变化到新位置为:

\[\left[ \begin{array}{l}{x'} \\ {y'}\end{array}\right] = x\left[ \begin{array}{l}{\cos (\theta)} \\ { \sin (\theta)}\end{array}\right]y\left[ \begin{array}{r}{- \sin (\theta)} \\ { \cos (\theta)}\end{array}\right] = \left[ \begin{array}{lr}{\cos (\theta)} & {-\sin (\theta)} \\ {\sin (\theta)} & {\cos (\theta)}\end{array}\right] \left[ \begin{array}{l}{x} \\ {y}\end{array}\right]\]

新位置和新基向量是相对绝对坐标系(\(x-y\)坐标系)而言的。其他变换矩阵同理。

总结一下:

  • 所有变换矩阵只需关注一点:坐标系的变化,即基向量和原点的变化
  • 坐标系变化到哪里,坐标系中的所有点也跟着做同样的变化
  • 坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化,在仿射变换矩阵 \(\left[ \begin{array}{lll}{a} & {b} & {c}\\ {d} & {e} & {f} \\ 0 & {0} & {1}\end{array}\right]\)中, \(\left[ \begin{array}{l}{a} \\ {d}\end{array}\right]\)\(\left[ \begin{array}{l}{b} \\ {e}\end{array}\right]\)为新的基向量,\(\left[ \begin{array}{l}{c} \\ {f}\end{array}\right]\)为新的坐标原点,先变化基向量,再变化坐标原点;

这时再对照上面的各种变换矩阵,就很好理解了。

Hierarchy of 2D coordinate transformations

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集,如何估计指定变换矩阵的参数?

一对对应点可以列两个线性方程,多个对应点可以列出线性方程组,为了求解参数,需要的对应点数至少为自由度的一半,多个点时构成超定方程组,可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解,这里不再展开。

参考

  • Image Alignment and Stitching: A Tutorial
  • wiki: Affine transformation
  • Geometric Transformation
  • Coordinates and Transformations
  • Transformations
  • Geometric Transformations
  • Image Geometry
源文地址:https://www.guoxiongfei.cn/cntech/18369.html
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