Java面试-动态规划与组合数

最近在刷力扣上的题目,刷到了65不同路径,当初上大学的时候,曾在hihocoder上刷到过这道题目,但是现在已经几乎全忘光了,大概的知识点是动态规划,如今就让我们一起来回顾一下。从题目说起题目原文是:一个机器人位于一个mxn网格的左上角(起始点在下图中标记为“Start”)。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。问总...

Java面试-动态规划与组合数

最近在刷力扣上的题目,刷到了65不同路径,当初上大学的时候,曾在hihocoder上刷到过这道题目,但是现在已经几乎全忘光了,大概的知识点是动态规划,如今就让我们一起来回顾一下。

从题目说起

题目原文是:

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“Start” )。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角(在下图中标记为“Finish”)。

问总共有多少条不同的路径?

例如,上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径?

说明:m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2

输出: 3

解释:

从左上角开始,总共有 3 条路径可以到达右下角。

  1. 向右 -> 向右 -> 向下
  1. 向右 -> 向下 -> 向右
  1. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3

输出: 28

正向思路

我们先按照正常思路来想一下,当你处于起点时,你有两个选择,向右或者向下,除非你处于最下面一排或者最右边一列,那你只有一种选择(比如处于最下面一排,你只能往右),其他位置,你都有两种选择。

因此,我们就根据这个思路,可以写出代码:

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) {  // 特殊情况:起点即终点  if (m == 1 && n == 1) {return 1;  }  // 当前处于(1,1),终点为(m,n)  return walk(1, 1, m, n); }  public int walk(int x, int y, int m, int n){  // 已经处于终点  if (x >= m && y >= n) {return 0;  }  // 处于最下面一排或者最右边一列  if (x >= m || y >= n) {return 1;  }  // 往下走,有多少种走法  int down = walk(x, y1, m, n);  // 往右走,有多少种走法  int right = walk(x1, y, m, n);  // 从当前(x,y)出发,走到(m,n),共有多少种走法  return downright; }}

优化

我们考虑一下,这种写法,有没有可以优化的地方。

你们应该一眼就发现,walk方法的第一个判断if (x >= m && y >= n),永远都不可能为true,因为下一个判断if (x >= m || y >= n)就已经是临界点情况,直接就已经有返回值,根本不可能达到x >= m && y >= n的情况。因此,该判断可以删除。

假设我们从(1,1)的位置出发,终点是(3,3),那么到达(2,2)这个中间点的话有几种走法呢?两种,先到(1,2)再到(2,2),或者,先到(2,1)再到(2,2)。

因此,如果根据我们上面的写法,从(2,2)到终点(3,3),我们会算两次,虽然这样的思路本身是正确,但这样的情况应该是可以优化的。因为从(1,1)到(3,3),一共只有6种路径,但已经有2条是重复的路径了,那么随着mn越来越大,中间点会越来越多,那么重复的路径也会越来越多。

这就是前面的选择对于后面的选择会有影响,即使后面的选择相同,但由于前面的选择不同,从而也被认为是不同的选择。

很明显,后面的选择更加唯一,如果我们先在后面做出选择,那么就可以减少重复计算的次数。因此,我们可以试试反向思路。

反向思路

如果我们不是从起点出发,而是从终点倒退到起点开始算的话。假设终点是(3,3),它只能由(2,3)和(3,2)直接到达,(2,3)也只能由(2,2)和(1,3)直接到达,(1,3)只能由(1,2)直接到达,(1,2)只能由(1,1)直接到达,因此(1,3)只能由(1,1)直达。

我们可以得出规律:除了最左边一列和最上面一排的点,只能由起点(1,1)直达以外,其他的点(x,y)都是由(x-1,y)和(x,y-1)两个点直接到达的。

因此,根据这个思路,我们可以写出代码:

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) {  int[][] result = new int[m][n];  int j;  for (int i = 0; i < m; i  ) {for (j = 0; j < n; j  ) { if (i == 0 || j == 0) {  // 最上面一排的点和最左边一列的点,只能由(1,1)到达  result[i][j] = 1; } else {  // 其他的点都可以由左边的点和上面的点到达  result[i][j] = result[i - 1][j]result[i][j - 1]; }}  }    return result[m - 1][n - 1]; }}

其实这样的想法就已经是动态规划的范畴了,我们看看维基上的定义

动态规划(英语:Dynamic programming,简称DP)是一种在数学、管理科学、计算机科学、经济学和生物信息学中使用的,通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。

一开始我感觉很像分治法,因为都需要将一个大问题分解为子问题,但分治法最终会将子问题合并,但动态规划却不用。

优化

我们考虑一下,这种写法,有没有可以优化的地方。

首先是空间上的优化,我们一定要用二维数组吗?可以用一维数组代替吗?

答案是肯定的,因为每个点的计算只和左边与上边相邻的点有关,因此,不需要更加久远的点。

一维数组

假如只用一维数组,那么只需要存储上一排的结果,如果计算到下一排的时候,则依次替换,代码为:

class Solution { public int uniquePaths(int m, int n) {  int[] dp = new int[m];  int j;  for(int i = 0; i < n; i  ) {for(j = 0; j < m; j  ) { if(j == 0) {  dp[j] = 1; } else {  // 其他的点都可以由左边的点和上面的点到达  dp[j]  = dp[j-1]; }}  }  return dp[m-1]; }}

这样的优化,差不多就结束了。那我们是否可以从思路上进行优化呢?

组合数

因为我们只有向右或向下两种选择,而我们一共要走的路径其实是(m-n-2),其中有(m-1)的路径是向右,(n-1)的路径是向下,其实可以转变为:

(m-n-2)中挑出(m-1),即组合数C((m-n-2), (m-1))的值

那么我们可以写出代码:

class Solution {  public int uniquePaths(int m, int n) {  // 用double,因为计算出的数值会很大  double num = 1, denom = 1;  // 找出更小的数,这样可以减少计算次数和计算出的数值  int small = m > n ? n : m;    for (int i = 1; i <= small - 1;i) {num *= mn - 1 - i;denom *= i;}  return (int)(num / denom); }}

总结

以上就是我做这道题的一些思路和想法了,虽然题目本身不难,但可以讨论的点还是很多的,如果大家有什么疑问,欢迎在下方留言。
有兴趣的话可以关注我的公众号,说不定会有意外的惊喜。

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